magazin-tyt.ru - Раскраска графов - Дискретная математика. Теория множеств. Теория графов


Теорема кенига о раскраске графа

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Кёнига.

В теории графов теорема Кёнига, доказанная Денешем Кёнигом в 1931, утверждает эквивалентность задач нахождения наибольшего паросочетания и наименьшего вершинного покрытия в двудольных графах. Это же было независимо открыто, в том же 1931, венгерским математиком Йенё Эгервари[en] в несколько более общем виде для случая взвешенных графов.


Содержание

Окружение

Граф называется двудольным, если его вершины можно разбить на два множества так, что у каждого ребра конечные вершины принадлежат разным множествам.

Вершинное покрытие графа – это множество вершин, такое, что любая дуга графа имеет хотя бы одну конечную вершину из этого множества. Вершинное покрытие называется наименьшим, если никакое другое вершинное покрытие не имеет меньшего числа вершин.

Паросочетанием в графе называется множество рёбер, не имеющих общих конечных вершин. Паросочетание называется наибольшим, если никакое другое паросочетание не содержит большего числа рёбер.

Теорема Кёнига утверждает, что в любом двудольном графе число рёбер в наибольшем паросочетании равно числу вершин в наименьшем вершинном покрытии.

Для графов, не являющихся двудольными, ситуация с задачами о наибольшем паросочетании и наименьшем вершинном покрытии совсем другая – наибольшее паросочетание можно найти за полиномиальное время для любого графа, в то время как поиск наименьшего вершинного покрытия является NP-полной задачей. Дополнение вершинного покрытия для любого графа – это независимое множество и поиск наибольшего независимого множества – это ещё одна NP-полная задача. Эквивалентность между паросочетаниями и покрытиями, выраженная в теореме Кёнига, позволяет найти наименьшее вершинное покрытие и наибольшее независимое множество за полиномиальное время для двудольных графов вопреки NP-полноте этой задачи для более общих семейств графов.

Теорема Кёнига эквивалентна массе других минимаксных теорем в теории графов и комбинаторике, таких как теорема Холла о свадьбах и теорема Дилуорса. Поскольку паросочетание в двудольных графах является частным случаем теоремы Форда — Фалкерсона, теорема Кёнига вытекает из теоремы Форда — Фалкерсона.

Теорема названа в честь венгерскрого математика Денеша Кёнига. Кёниг заявил о ней в 1914 и опубликовал в 1916 доказательство, что любой регулярный двудольный граф имеет совершенное паросочетание,[1] и, обобщённо, что хроматический индекс любого двудольного графа (то есть наименьшее число паросочетаний, на которые можно разложить все дуги графа) равен максимальной степени[2]. Последнее утверждение известно как теорема Кёнига о рёберной раскраске.[3] Однако Бонди и Мерфи (Bondy, Murty, 1976) приписывают саму теорему более поздней работе Кёнига (1931). Согласно Бигу (Bigg) Кёниг приписывает идею изучения паросочетаний в двудольных графах своему отцу, математику Юлию Кёнигу[en].

Утверждение теоремы

В любом двудольном графе число рёбер в наибольшем паросочетании равно числу вершин в наименьшем вершинном покрытии.

В русскоязычном интернете распростанена следующая формулировка теоремы:

Если прямоугольная матрица составлена из нулей и единиц, то минимальное число линий, содержащих все единицы, равно максимальному числу единиц, которые могут быть выбраны так, чтобы никакие две из них не лежали на одной и той же линии (термин "линия" обозначает либо строку, либо столбец в матрице). [4]

Данная формулировка легко переводится на язык двудольных графов:

Строки таблицы – это вершины одной части двудольного графа, столбцы – другой части. Линии – это вершинное покрытие. Единицы матрицы – рёбра. Требование, чтобы никакие две единицы не лежали на одной линии, соответствует паросочетанию.

Пример

Двудольный граф на рисунке вверху имеет 14 вершин, паросочетание с 6 рёбрами выделено синим цветом, а вершинное покрытие из шести вершин выделено красным. Нет меньшего по размеру вершинного покрытия, поскольку любая вершина должна включать по меньшей мере одну конечную вершину ребра паросочетания, так что это покрытие является наименьшим. Таким же образом, нет паросочетания большего размера, поскольку любое ребро паросочетания должно содержать по меньшей мере одну конечную вершину из вершинного покрытия, так что это паросочетание является наибоьшим. Теорема Кёнига как раз и утверждает равенство размеров паросочетания и покрытия (в данном примере оба числа равны шести).

Доказательство

Пусть задан двудольный граф G=(V,E), и пусть V делится на левое множество L и правое R. Пусть M – наибольшее паросочетание в G.

По определению "паросочетания", никакая вершина не может принадлежать более чем одному ребру из M. Таким образом, если вершинное покрытие с |M| вершинами может быть построено, оно наименьшее.

Если M – совершенное паросочетание (что предполагает, что M - наибольшее), то |L| = |R| = |M|. Поскольку каждое ребро G сопряжено ровно с одной вершиной из L и ровно с одной вершиной из R, либо L, либо R является вершинным покрытием размера |M| и теорема доказана.

В противном случае используем построение чередующегося пути для построения наименьшего покрытия. При заданном M чередующимся путём называется путь, рёбра которого поочерёдно берутся из M и E \ M. Разделим вершины V графа G на подмножества Si, как описано ниже. Мы покажем, что объединение подмножеств с нечётными индексами является вершинным покрытием с |M| вершинами.

  • Пусть S0 состоит из всех вершин, не принадлежащих паросочетанию M.
  • Для целого j ≥ 0, пусть S2j+1 – множество всех вершин v, таких, что
  1. v связано с некоторой вершиной из S2j теорема ребром из E \ M
  2. v не входит ни в одно из ранее построенных множеств Sk, где k < 2j+1.
Если таких вершин нет, но остаются вершины, не содержащиеся в ранее построенных множествах Sk, выбираем произвольную из них и полагаем, что S2j+1 состоит из этой единственной вершины.
  • Для целого j ≥ 1, пусть S2j – множество всех вершин u, таких, что u принадлежит некоторому ребру из M со второй вершиной из S2j−1. Заметим, что для любой v из S2j−1 существует вершина u, в паре, с которой они входят в паросочетание, поскольку в противном случае v была бы в S0. Таким образом, M устанавливает однозначное соответствие между вершинами из S2j−1 и вершинами из S2j.

Относительно последнего члена этого списка могут возникнуть сомнения – а не может ли случиться так, что вершина u, принадлежащая некоторому ребру из M с вершиной v в S2j−1, будет также содержаться и в множестве Si с индексом, меньшим 2j, откуда последует, что множество Si не образует отдельной части. Мы покажем, что такого произойти не может.

  • Вершина v, появившаяся по построению первый раз в S2j−1, не может вместе с вершиной из S2k с k < j принадлежать паросочетанию, поскольку вершины S2k либо не содержатся ни в какой дуге паросочетания (при k = 0), либо образуют дугу паросочетания вместе с дугой из S2k−1 (при k ≥ 1).
  • Вершина v не может паросочетаться с вершиной u из S2k-1 с k ≤ j. Заметим, во-первых, что вершины из S2k−1 с k < j паросочетаются с вершинами из S2k с 2k < 2j−1 и, поэтому, не могут паросочетаться с v. Во-вторых, предположим, что v паросочетается с u из S2j−1. Построим чередующийся путь с началом в вершине v путём выбора ребра из E \ M, содержащего конечную вершину v и вторую вершину из S2j−2, ребра из M, содержащего полученную вершину и вершину из S2j-3, и так далее. Получим связи вершин из Si с вершинами из Si−1 рёбрами из E \ M при i нечётном и рёбрами из M при i чётном. Процесс будет продолжаться, пока либо не достигнем S0, либо множество S2h+1 будет содержать единственную вершину, не имеющую рёбер, соединяющих её с нижним уровнем S2h. Построим такой же путь, начиная с u. Объединяя эти два пути ребром vu из M, получим более длинный чередующийся путь P. Путь P является простым, поскольку в случае наличия общей вершины w на уровне i, получили бы нечётной длины цикл, содержащий вершину w, что невозможно в двудольных графах. Как следствие, конечные вершины пути P должны быть различными вершинами из S0. Поскольку первое и последнее ребро P принадлежат E \ M, P содержит на единицу больше рёбер из E \ M чем из M. Тогда, убирая рёбра P ∩ M из M и добавляя рёбра P ∩ (E \ M) к M мы получим паросочетание с большим числом рёбер, чем в M, что противоречит условию, что M наибольшее.

Мы показали, что каждая вершина множества V содержится ровно в одном множестве Si. Отсюда следует, что рёбра M всегда соединяют вершины смежных уровней S2j−1 и S2j. Покажем, что никакое ребро E \ M не соединяет пару вершин, лежащих на чётных уровнях. Предположим, что ребро из E \ M соединяет вершину из S2j с вершиной из S2k при k ≤ j. Если v – вершина в S2k с k < j, то любая вершина, сопряжённая с v ребром из E \ M, находится на уровне Si с i ≤ 2k+1 < 2j, а потому v не может быть связано ребром из E \ M с вершиной из S2j. С другой стороны, применяя тот же приём построения чередующегося пути, две вершины из S2j не могут быть связаны друг с другом дугой из E \ M. Следовательно, любое ребро из M имеет в точности одну вершину в нечётном множестве и любое ребро из E \ M имеет по меньшей мере одну конечную вершину в нечётном множестве. Таким образом, объединение всех нечётных множеств даст вершинное покрытие с |M| вершинами.

Алгоритм

Построение, описанное выше и используемое для доказательства теоремы, даёт алгоритм построения наименьшего вершинного покрытия по заданному наибольшему паросочетанию. Так, алгоритм Хопкрофта–Карпа[en] для поиска наибольшего паросочетания в двудольных графах может быть использован для эффективного решения задачи о наименьшем вершинном покрытии.

Вопреки эквивалентности двух задач с точки зрения точного решения, они совершенно не эквивалентны для аппроксимационных алгоритмов. Задача о наибольшем паросочетании для двудольных графов может быть аппроксимирована с произвольной точностью за постоянное время с помощью распределённых алгоритмов[en], в противоположность задаче о наименьшем вершинном покрытии, требующей как минимум логарифмического времени.[5]

Связь с совершенными графами

Говорят, что граф совершенен, если для любого порождённого подграфа его хроматическое число равно размеру максимальной клики. Любой двудольный граф совершенен, поскольку любой его подграф является либо двудольным, либо независимым. В двудольном графе, не являющемся независимым, хроматическое число и размер максимальной клики равны двум, в то время как для независимого множества оба этих числа равны единице.

Граф совершенен тогда и только тогда, когда его дополнение совершенно (Lovász 1972), и теорему Кёнига можно считать эквивалентом утверждения, что дополнение двудольного графа совершенно. Любые раскраски дополнения двудольного графа имеют размер максимум 2, а классы размера 2 образуют паросочетания. Клики в дополнении графа G – это независимое множество в G, и, как мы уже писали выше, независимое множество в двудольном графе G – это дополнение вершинного покрытия G. Таким образом, любое паросочетание M в двудольном графе G с n вершинами соответствует раскраске дополнения G с n-|M| цветами, что, ввиду совершенства дополнения двудольных графов, соответствует независимому множеству в G с n-|M| вершинами, что соответствует вершинному покрытию G |M| вершинами. Следовательно, теорема Кёнига доказывает совершенство дополнений двудольных графов, то есть результат, выраженный в более явной форме у Галаи (Gallai, 1958).

Можно связать также теорему Кёнига о рёберной раскраске с другим классом совершенных графов, рёберными графами двудольных графов. Для графа G рёберный граф L(G) имеет вершины, соответствующие рёбрам графа G, и рёбра для каждой пары смежных рёбер в G. Таким образом, хроматическое число L(G) равно хроматическому индексу G. Если G — двудольный, клики в L(G) – это в точности множества рёбер в G, имеющих общую конечную вершину. Теперь теорема Кёнига о рёберноё раскраске, утверждающая, что хроматический индекс равен максимальной степени вершин в двудольном графе, может быть интерпретирована как утверждение, что рёберный граф двудольного графа совершенен.

Поскольку рёберные графы двудольных графов совершенны, дополнения рёберных графов двудольных графов тоже совершенны. Клика в дополнении рёберного графа для G – это просто паросочетание G. А раскраска дополнения рёберного графа для G, в случае, если G является двудольным, — это разбиение рёбер графа G на подмножества рёбер, имеющих общие вершины. Конечные вершины, являющиеся общими в этих подмножествах, образуют вершинное покрытие графа G. Таким образом, сама теорема Кёнига может быть также интерпретирована как утверждение, что дополнение рёберных графов двудольных графов совершенно.

Замечания

  1. На плакате, выставленном в 1998 на Международном конгрессе математиков в Берлине, а затем на Международной конференции по теории графов Bled'07, Геральд Гроп (Harald Gropp) указал на то, что тот же самый результат уже появлялся на языке конфигураций в 1894 в тезисах Эрнста Стейница.
  2. Biggs, 1976.
  3. Lovász, 1986, Theorem 1.4.17, с. 37.
  4. Вопросы кибернетики. Тр. Семинара по комбинаторной математике. — М., 1973. — С. 185-99..
  5. Göös, 2012.

Напишите отзыв о статье "Теорема Кёнига (комбинаторика)"

Ссылки

  • Biggs, N. L.; Lloyd, E. K.; Wilson, R. J. Graph Theory 1736–1936. — Oxford University Press, 1976. — С. 203–207. — ISBN 0-19-853916-9.
  • J. A. Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with Applications. — North Holland, 1976. — С. 74. — ISBN 0-444-19451-7.
  • Gallai, Tibor Maximum-minimum Sätze über Graphen // Acta Math. Acad. Sci. Hungar.. — 1958. — Т. 9, вып. 3-4. — С. 395–434. — DOI:10.1007/BF02020271.
  • Mika Göös, Jukka Suomela. 26th International Symposium on Distributed Computing (DISC), Salvador, Brazil, October 2012. — 2012.
  • Kőnig, Dénes Gráfok és alkalmazásuk a determinánsok és a halmazok elméletére // Matematikai és Természettudományi Értesítő. — 1916. — Т. 34. — С. 104–119.
  • Kőnig, Dénes Gráfok és mátrixok // Matematikai és Fizikai Lapok. — 1931. — Т. 38. — С. 116–119.
  • László Lovász, M. D. Plummer. Matching Theory. — North-Holland, 1986. — ISBN 0-444-87916-1.
  • Lovász, László Normal hypergraphs and the perfect graph conjecture // Discrete Mathematics. — 1972. — Т. 2, вып. 3. — С. 253–267. — DOI:10.1016/0012-365X(72)90006-4.


Отрывок, характеризующий Теорема Кёнига (комбинаторика)

– Sire! Je ne m'attendais pas a moins qu'a vous trouver aux portes de Moscou, [Я ожидал не менее того, как найти вас, государь, у ворот Москвы.] – сказал Боссе.
Наполеон улыбнулся и, рассеянно подняв голову, оглянулся направо. Адъютант плывущим шагом подошел с золотой табакеркой и подставил ее. Наполеон взял ее.
– Да, хорошо случилось для вас, – сказал он, приставляя раскрытую табакерку к носу, – вы любите путешествовать, через три дня вы увидите Москву. Вы, верно, не ждали увидать азиатскую столицу. Вы сделаете приятное путешествие.
Боссе поклонился с благодарностью за эту внимательность к его (неизвестной ему до сей поры) склонности путешествовать.
– А! это что? – сказал Наполеон, заметив, что все придворные смотрели на что то, покрытое покрывалом. Боссе с придворной ловкостью, не показывая спины, сделал вполуоборот два шага назад и в одно и то же время сдернул покрывало и проговорил:
– Подарок вашему величеству от императрицы.
Это был яркими красками написанный Жераром портрет мальчика, рожденного от Наполеона и дочери австрийского императора, которого почему то все называли королем Рима.
Весьма красивый курчавый мальчик, со взглядом, похожим на взгляд Христа в Сикстинской мадонне, изображен был играющим в бильбоке. Шар представлял земной шар, а палочка в другой руке изображала скипетр.
Хотя и не совсем ясно было, что именно хотел выразить живописец, представив так называемого короля Рима протыкающим земной шар палочкой, но аллегория эта, так же как и всем видевшим картину в Париже, так и Наполеону, очевидно, показалась ясною и весьма понравилась.
– Roi de Rome, [Римский король.] – сказал он, грациозным жестом руки указывая на портрет. – Admirable! [Чудесно!] – С свойственной итальянцам способностью изменять произвольно выражение лица, он подошел к портрету и сделал вид задумчивой нежности. Он чувствовал, что то, что он скажет и сделает теперь, – есть история. И ему казалось, что лучшее, что он может сделать теперь, – это то, чтобы он с своим величием, вследствие которого сын его в бильбоке играл земным шаром, чтобы он выказал, в противоположность этого величия, самую простую отеческую нежность. Глаза его отуманились, он подвинулся, оглянулся на стул (стул подскочил под него) и сел на него против портрета. Один жест его – и все на цыпочках вышли, предоставляя самому себе и его чувству великого человека.
Посидев несколько времени и дотронувшись, сам не зная для чего, рукой до шероховатости блика портрета, он встал и опять позвал Боссе и дежурного. Он приказал вынести портрет перед палатку, с тем, чтобы не лишить старую гвардию, стоявшую около его палатки, счастья видеть римского короля, сына и наследника их обожаемого государя.
Как он и ожидал, в то время как он завтракал с господином Боссе, удостоившимся этой чести, перед палаткой слышались восторженные клики сбежавшихся к портрету офицеров и солдат старой гвардии.
– Vive l'Empereur! Vive le Roi de Rome! Vive l'Empereur! [Да здравствует император! Да здравствует римский король!] – слышались восторженные голоса.
После завтрака Наполеон, в присутствии Боссе, продиктовал свой приказ по армии.
– Courte et energique! [Короткий и энергический!] – проговорил Наполеон, когда он прочел сам сразу без поправок написанную прокламацию. В приказе было:
«Воины! Вот сражение, которого вы столько желали. Победа зависит от вас. Она необходима для нас; она доставит нам все нужное: удобные квартиры и скорое возвращение в отечество. Действуйте так, как вы действовали при Аустерлице, Фридланде, Витебске и Смоленске. Пусть позднейшее потомство с гордостью вспомнит о ваших подвигах в сей день. Да скажут о каждом из вас: он был в великой битве под Москвою!»
– De la Moskowa! [Под Москвою!] – повторил Наполеон, и, пригласив к своей прогулке господина Боссе, любившего путешествовать, он вышел из палатки к оседланным лошадям.
– Votre Majeste a trop de bonte, [Вы слишком добры, ваше величество,] – сказал Боссе на приглашение сопутствовать императору: ему хотелось спать и он не умел и боялся ездить верхом.
Но Наполеон кивнул головой путешественнику, и Боссе должен был ехать. Когда Наполеон вышел из палатки, крики гвардейцев пред портретом его сына еще более усилились. Наполеон нахмурился.
– Снимите его, – сказал он, грациозно величественным жестом указывая на портрет. – Ему еще рано видеть поле сражения.
Боссе, закрыв глаза и склонив голову, глубоко вздохнул, этим жестом показывая, как он умел ценить и понимать слова императора.
Весь этот день 25 августа, как говорят его историки, Наполеон провел на коне, осматривая местность, обсуживая планы, представляемые ему его маршалами, и отдавая лично приказания своим генералам.
Первоначальная линия расположения русских войск по Ко лоче была переломлена, и часть этой линии, именно левый фланг русских, вследствие взятия Шевардинского редута 24 го числа, была отнесена назад. Эта часть линии была не укреплена, не защищена более рекою, и перед нею одною было более открытое и ровное место. Очевидно было для всякого военного и невоенного, что эту часть линии и должно было атаковать французам. Казалось, что для этого не нужно было много соображений, не нужно было такой заботливости и хлопотливости императора и его маршалов и вовсе не нужно той особенной высшей способности, называемой гениальностью, которую так любят приписывать Наполеону; но историки, впоследствии описывавшие это событие, и люди, тогда окружавшие Наполеона, и он сам думали иначе.
Наполеон ездил по полю, глубокомысленно вглядывался в местность, сам с собой одобрительно или недоверчиво качал головой и, не сообщая окружавшим его генералам того глубокомысленного хода, который руководил его решеньями, передавал им только окончательные выводы в форме приказаний. Выслушав предложение Даву, называемого герцогом Экмюльским, о том, чтобы обойти левый фланг русских, Наполеон сказал, что этого не нужно делать, не объясняя, почему это было не нужно. На предложение же генерала Компана (который должен был атаковать флеши), провести свою дивизию лесом, Наполеон изъявил свое согласие, несмотря на то, что так называемый герцог Эльхингенский, то есть Ней, позволил себе заметить, что движение по лесу опасно и может расстроить дивизию.
Осмотрев местность против Шевардинского редута, Наполеон подумал несколько времени молча и указал на места, на которых должны были быть устроены к завтрему две батареи для действия против русских укреплений, и места, где рядом с ними должна была выстроиться полевая артиллерия.
Отдав эти и другие приказания, он вернулся в свою ставку, и под его диктовку была написана диспозиция сражения.
Диспозиция эта, про которую с восторгом говорят французские историки и с глубоким уважением другие историки, была следующая:
«С рассветом две новые батареи, устроенные в ночи, на равнине, занимаемой принцем Экмюльским, откроют огонь по двум противостоящим батареям неприятельским.
В это же время начальник артиллерии 1 го корпуса, генерал Пернетти, с 30 ю орудиями дивизии Компана и всеми гаубицами дивизии Дессе и Фриана, двинется вперед, откроет огонь и засыплет гранатами неприятельскую батарею, против которой будут действовать!
24 орудия гвардейской артиллерии,
30 орудий дивизии Компана
и 8 орудий дивизии Фриана и Дессе,
Всего – 62 орудия.
Начальник артиллерии 3 го корпуса, генерал Фуше, поставит все гаубицы 3 го и 8 го корпусов, всего 16, по флангам батареи, которая назначена обстреливать левое укрепление, что составит против него вообще 40 орудий.
Генерал Сорбье должен быть готов по первому приказанию вынестись со всеми гаубицами гвардейской артиллерии против одного либо другого укрепления.
В продолжение канонады князь Понятовский направится на деревню, в лес и обойдет неприятельскую позицию.
Генерал Компан двинется чрез лес, чтобы овладеть первым укреплением.
По вступлении таким образом в бой будут даны приказания соответственно действиям неприятеля.
Канонада на левом фланге начнется, как только будет услышана канонада правого крыла. Стрелки дивизии Морана и дивизии вице короля откроют сильный огонь, увидя начало атаки правого крыла.
Вице король овладеет деревней [Бородиным] и перейдет по своим трем мостам, следуя на одной высоте с дивизиями Морана и Жерара, которые, под его предводительством, направятся к редуту и войдут в линию с прочими войсками армии.
Все это должно быть исполнено в порядке (le tout se fera avec ordre et methode), сохраняя по возможности войска в резерве.
В императорском лагере, близ Можайска, 6 го сентября, 1812 года».
Диспозиция эта, весьма неясно и спутанно написанная, – ежели позволить себе без религиозного ужаса к гениальности Наполеона относиться к распоряжениям его, – заключала в себе четыре пункта – четыре распоряжения. Ни одно из этих распоряжений не могло быть и не было исполнено.
В диспозиции сказано, первое: чтобы устроенные на выбранном Наполеоном месте батареи с имеющими выравняться с ними орудиями Пернетти и Фуше, всего сто два орудия, открыли огонь и засыпали русские флеши и редут снарядами. Это не могло быть сделано, так как с назначенных Наполеоном мест снаряды не долетали до русских работ, и эти сто два орудия стреляли по пустому до тех пор, пока ближайший начальник, противно приказанию Наполеона, не выдвинул их вперед.
Второе распоряжение состояло в том, чтобы Понятовский, направясь на деревню в лес, обошел левое крыло русских. Это не могло быть и не было сделано потому, что Понятовский, направясь на деревню в лес, встретил там загораживающего ему дорогу Тучкова и не мог обойти и не обошел русской позиции.
Третье распоряжение: Генерал Компан двинется в лес, чтоб овладеть первым укреплением. Дивизия Компана не овладела первым укреплением, а была отбита, потому что, выходя из леса, она должна была строиться под картечным огнем, чего не знал Наполеон.
Четвертое: Вице король овладеет деревнею (Бородиным) и перейдет по своим трем мостам, следуя на одной высоте с дивизиями Марана и Фриана (о которых не сказано: куда и когда они будут двигаться), которые под его предводительством направятся к редуту и войдут в линию с прочими войсками.
Сколько можно понять – если не из бестолкового периода этого, то из тех попыток, которые деланы были вице королем исполнить данные ему приказания, – он должен был двинуться через Бородино слева на редут, дивизии же Морана и Фриана должны были двинуться одновременно с фронта.
Все это, так же как и другие пункты диспозиции, не было и не могло быть исполнено. Пройдя Бородино, вице король был отбит на Колоче и не мог пройти дальше; дивизии же Морана и Фриана не взяли редута, а были отбиты, и редут уже в конце сражения был захвачен кавалерией (вероятно, непредвиденное дело для Наполеона и неслыханное). Итак, ни одно из распоряжений диспозиции не было и не могло быть исполнено. Но в диспозиции сказано, что по вступлении таким образом в бой будут даны приказания, соответственные теорема кенига о раскраске графа действиям неприятеля, и потому могло бы казаться, что во время сражения будут сделаны Наполеоном все нужные распоряжения; но этого не было и не могло быть потому, что во все время сражения Наполеон находился так далеко от него, что (как это и оказалось впоследствии) ход сражения ему не мог быть известен и ни одно распоряжение его во время сражения не могло быть исполнено.
Многие историки говорят, что Бородинское сражение не выиграно французами потому, что у Наполеона был насморк, что ежели бы у него не было насморка, то распоряжения его до и во время сражения были бы еще гениальнее, и Россия бы погибла, et la face du monde eut ete changee. [и облик мира изменился бы.] Для историков, признающих то, что Россия образовалась по воле одного человека – Петра Великого, и Франция из республики сложилась в империю, и французские войска пошли в Россию по воле одного человека – Наполеона, такое рассуждение, что Россия осталась могущественна потому, что у Наполеона был большой насморк 26 го числа, такое рассуждение для таких историков неизбежно последовательно.
Ежели от воли Наполеона зависело дать или не дать Бородинское сражение и от его воли зависело сделать такое или другое распоряжение, то очевидно, что насморк, имевший влияние на проявление его воли, мог быть причиной спасения России и что поэтому тот камердинер, который забыл подать Наполеону 24 го числа непромокаемые сапоги, был спасителем России. На этом пути мысли вывод этот несомненен, – так же несомненен, как тот вывод, который, шутя (сам не зная над чем), делал Вольтер, говоря, что Варфоломеевская ночь произошла от расстройства желудка Карла IX. Но для людей, не допускающих того, чтобы Россия образовалась по воле одного человека – Петра I, и чтобы Французская империя сложилась и война с Россией началась по воле одного человека – Наполеона, рассуждение это не только представляется неверным, неразумным, но и противным всему существу человеческому. На вопрос о том, что составляет причину исторических событий, представляется другой ответ, заключающийся в том, что ход мировых событий предопределен свыше, зависит от совпадения всех произволов людей, участвующих в этих событиях, и что влияние Наполеонов на ход этих событий есть только внешнее и фиктивное.
Как ни странно кажется с первого взгляда предположение, что Варфоломеевская ночь, приказанье на которую отдано Карлом IX, произошла не по его воле, а что ему только казалось, что он велел это сделать, и что Бородинское побоище восьмидесяти тысяч человек произошло не по воле Наполеона (несмотря на то, что он отдавал приказания о начале и ходе сражения), а что ему казалось только, что он это велел, – как ни странно кажется это предположение, но человеческое достоинство, говорящее мне, что всякий из нас ежели не больше, то никак не меньше человек, чем великий Наполеон, велит допустить это решение вопроса, и исторические исследования обильно подтверждают это предположение.
В Бородинском сражении Наполеон ни в кого не стрелял и никого не убил. Все это делали солдаты. Стало быть, не он убивал людей.
Солдаты французской армии шли убивать русских солдат в Бородинском сражении не вследствие приказания Наполеона, но по собственному желанию. Вся армия: французы, итальянцы, немцы, поляки – голодные, оборванные и измученные походом, – в виду армии, загораживавшей от них Москву, чувствовали, что le vin est tire et qu'il faut le boire. [вино откупорено и надо выпить его.] Ежели бы Наполеон запретил им теперь драться с русскими, они бы его убили и пошли бы драться с русскими, потому что это было им необходимо.
Когда они слушали приказ Наполеона, представлявшего им за их увечья и смерть в утешение слова потомства о том, что и они были в битве под Москвою, они кричали «Vive l'Empereur!» точно так же, как они кричали «Vive l'Empereur!» при виде изображения мальчика, протыкающего земной шар палочкой от бильбоке; точно так же, как бы они кричали «Vive l'Empereur!» при всякой бессмыслице, которую бы им сказали. Им ничего больше не оставалось делать, как кричать «Vive l'Empereur!» и идти драться, чтобы найти пищу и отдых победителей в Москве. Стало быть, не вследствие приказания Наполеона они убивали себе подобных.

Источник: http://wiki-org.ru/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9A%D1%91%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0_(%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0)


Закрыть ... [X]

Двудольный граф, теорема Кенига о двудольном графе. МегаЛекции Красота перевод по турецки

Теорема кенига о раскраске графа Теорема Кёнига (комбинаторика) Википедия (с комментариями)
Теорема кенига о раскраске графа Теорема Кёнига (1916 г.). Для каждого двудольного графа
Теорема кенига о раскраске графа Теорема Кёнига (комбинаторика) Википедия
Теорема кенига о раскраске графа Теорема Кёнига (комбинаторика) WiKi
Теорема кенига о раскраске графа Совершенный граф Википедия
Теорема кенига о раскраске графа ГрафоMann : Теория графов
Теорема кенига о раскраске графа «Моя мама монстр Как и почему матери манипулируют
Теорема кенига о раскраске графа Биография итальянской оперной певицы Лины Кавальери
Теорема кенига о раскраске графа Вышивалка : Схема вышивки Riolis 807 Одуванчики
Грубая кожа вокруг ногтей Игры для девочек Барби Макияж Интернет-магазин одежды и обуви ОТТО. Онлайн-каталог Как связать модный шарф-хомут или шарф-снуд спицами фото Конкурсы детского творчества 2017 г Лояльность персонала - HR-Portal